Wyrażenia algebraiczne: zadania z matury z matematyki
74 zadań z oficjalnych arkuszy CKE (poziom podstawowy), każde z rozwiązaniem krok po kroku. Najpierw zadania z formuły 2023, która obowiązuje na maturze 2027.
Co CKE sprawdza w tym dziale
Powtarzalne typy zadań z arkuszy CKE i liczba zadań każdego typu, od najczęstszych w formule 2023.
Podzielność lub reszta z dzielenia wyrażenia z n8 w formule 2023 · 10 arkuszy10 zadańDziałania na wyrażeniach wymiernych (dodawanie, mnożenie, skracanie)6 w formule 2023 · 7 arkuszy7 zadańLiczba rozwiązań równania wymiernego w postaci ilorazu iloczynów5 w formule 2023 · 12 arkuszy12 zadańRóżnica kwadratów dwóch dwumianów, np. (a + b)² − (a − b)²5 w formule 2023 · 6 arkuszy6 zadańWielomiany: rozkład na czynniki, działania, parametr4 w formule 2023 · 7 arkuszy7 zadańPodzielność konkretnej liczby (suma potęg, różnica kwadratów)2 w formule 2023 · 5 arkuszy5 zadańDowód geometryczny (dwusieczna, trapez, stosunek pól)2 w formule 2023 · 2 arkusze2 zadaniaRównanie wymierne sprowadzane do liniowego (proporcja)1 w formule 2023 · 8 arkuszy8 zadańRównanie wymierne prowadzące do równania kwadratowego1 w formule 2023 · 4 arkusze4 zadaniaZwijanie wyrażenia do kwadratu dwumianu (także wartość dla x z pierwiastkiem)1 w formule 2023 · 4 arkusze4 zadaniaDowód nierówności algebraicznej (sprowadzenie do kwadratu)14 arkuszy14 zadańKwadrat sumy lub różnicy z pierwiastkami9 arkuszy9 zadańInne dowody algebraiczne (ciągi, trójmian kwadratowy)3 arkusze3 zadaniaWartość wyrażenia wymiernego dla danego argumentu lub warunku2 arkusze2 zadaniaDziedzina wyrażenia lub funkcji wymiernej1 arkusz1 zadaniePrzekształcanie wyrażeń z warunkiem (np. a + b i a² + b²)1 arkusz1 zadanie
Zadanie 6, matura maj 2026Wartość wyrażenia x2 + 10x + 25 dla x = 2 - 5 jest równa1 pktZadanie 6, matura marzec 2026Dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od (-10) oraz różnej od 0 wartość wyrażenia x2 + 20x + 100/x3 x2/x + 1…1 pktZadanie 4, matura maj 2025Dla każdej liczby rzeczywistej x wartość wyrażenia (3x + 2)2 - (2x - 3)2 jest równa wartości wyrażenia1 pktZadanie 8, matura maj 2025Dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od (-2) oraz różnej od 0 wartość wyrażenia x2 + x/x2 + 4x + 4 x + 2/x …1 pktZadanie 6, matura grudzień 2024Dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od (-1), 0 oraz 1 wartość wyrażenia x/x2 - 1 : 3x2/x + 1 jest równa wa…1 pktZadanie 5, matura maj 2024Dla każdej liczby rzeczywistej a i dla każdej liczby rzeczywistej b wartość wyrażenia (2a + b)2 - (2a - b)2 je…1 pktZadanie 8, matura maj 2024Dany jest wielomian W(x) = 3x3 + 6x2 + 9x. 1. Wielomian W jest iloczynem wielomianów F(x) = 3x i G(x) = x2 + 2…1 pktZadanie 5, matura grudzień 2023Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej n liczba 3n2 + 4n + 1 jest podzielna przez 4.2 pktZadanie 7, matura grudzień 2023Dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od (-3) i (-2) wartość wyrażenia x + 3/x2 + 4x + 4 x2 + 2x/2x + 6 jest…1 pktZadanie 8, matura grudzień 2023Dany jest wielomian W(x) = -3x3 - x2 + kx + 1, gdzie k jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że wielomian W …1 pktZadanie 5, matura maj 2023Dla każdej liczby rzeczywistej a wyrażenie (2a - 3)2 - (2a + 3)2 jest równe1 pktZadanie 4, matura grudzień 2022Liczby rzeczywiste x i y są dodatnie oraz x y. Wyrażenie 1/x - y + 1/x + y można przekształcić do postaci1 pktZadanie 11, matura grudzień 2022Dany jest wielomian W określony wzorem W(x) = x3 - 2x2 - 3x + 6 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wielomian W …1 pktZadanie 12, matura grudzień 2022Równanie (4 - x)(2x - 3)/(3x - 5)(3 - 2x) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie1 pktZadanie 14, matura grudzień 2022Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 5n2 + 15n jest podzielna przez 10.2 pktZadanie 4, matura wrzesień 2022Dla każdej liczby rzeczywistej x 1 wyrażenie 2/x - 1 - 5 jest równe1 pktZadanie 5, matura wrzesień 2022Dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y wyrażenie 9 - (x2 - 2xy + y2) jest równe A…2 pktZadanie 4, matura marzec 2022Dla każdej liczby rzeczywistej x wartość wyrażenia (3 + 4x)2 - (3 - 4x)2 jest równa1 pktZadanie 4, matura maj 2024, formuła 2015Dla każdej liczby rzeczywistej a i dla każdej liczby rzeczywistej b wartość wyrażenia (2a+ b)2 −(2a−b)2 jest r…1 pktZadanie 4, matura maj 2023, formuła 2015Dla każdej liczby rzeczywistej a wyrażenie (2a - 3)2 - (2a + 3)2 jest równe1 pktZadanie 8, matura maj 2023, formuła 2015Równanie (x+1)(x-1)2/(x-1)(x+1)2 = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych1 pktZadanie 32, matura maj 2023, formuła 2015Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x 1 i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność x2 +…2 pktZadanie 2, matura maj 2022, formuła 2015Dodatnie liczby x i y spełniają warunek 2x = 3y. Wynika stąd, że wartość wyrażenia x2 + y2/x y jest równa1 pktZadanie 31, matura maj 2022, formuła 2015Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b takich, że b a, spełniona jest nieró…2 pktZadanie 30, matura maj 2021, formuła 2015Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb a, b i c takich, że a < b, spełniona jest nierówność a/b < a + c/…2 pktZadanie 1, matura marzec 2021, formuła 2015Liczba ( 6 - 2 )2 - 2 3 jest równa1 pktZadanie 10, matura marzec 2021, formuła 2015Funkcja f jest określona wzorem f(x) = 8x - 7/2x2 + 1 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wartość funkcji f dla …1 pktZadanie 1, matura czerwiec 2020, formuła 2015Wartość wyrażenia x2 - 6x + 9 dla x = 3 + 3 jest równa1 pktZadanie 28, matura czerwiec 2020, formuła 2015Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność a(a - 2b) + 2b2 > 0.2 pktZadanie 5, matura marzec 2020, formuła 2015Liczba (2 7 - 5 )2 (2 7 + 5 )2 jest równa1 pktZadanie 8, matura marzec 2020, formuła 2015Rozwiązaniem równania x + 1/x + 2 = 3, gdzie x -2, jest liczba należąca do przedziału1 pktZadanie 28, matura marzec 2020, formuła 2015Wykaż, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność 4x + 1/x 4.2 pktZadanie 4, matura maj 2019, formuła 2015Równość 1/4 + 1/5 + 1/a = 1 jest prawdziwa dla1 pktZadanie 6, matura maj 2019, formuła 2015Równanie (x - 1)(x + 2)/x - 3 = 01 pktZadanie 28, matura maj 2019, formuła 2015Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność 3a2 - 2ab + 3b2 0.2 pktZadanie 7, matura maj 2018, formuła 2015Równanie x2 + 2x/x2 - 4 = 01 pktZadanie 28, matura maj 2018, formuła 2015Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest nierówność 1/2a + 1/2b 2/a + b.2 pktZadanie 27, matura maj 2017, formuła 2015Wykaż, że liczba 42017 + 42018 + 42019 + 42020 jest podzielna przez 17.2 pktZadanie 4, matura maj 2016, formuła 2015Równość (2 2 - a )2 = 17 - 12 2 jest prawdziwa dla1 pktZadanie 9, matura maj 2016, formuła 2015Równanie wymierne 3x - 1/x + 5 = 3, gdzie x -5,1 pktZadanie 30, matura maj 2016, formuła 2015Ciąg (an) jest określony wzorem an = 2n2 + 2n dla n 1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego cią…2 pktZadanie 7, matura maj 2015, formuła 2015Równanie x - 1/x + 1 = x - 11 pktZadanie 27, matura maj 2015, formuła 2015Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność 4x2 - …2 pktZadanie 1, matura czerwiec 2020, stara formułaWartość wyrażenia x2 - 6x + 9 dla x = 3 + 3 jest równa1 pktZadanie 28, matura czerwiec 2020, stara formułaWykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność a(a - 2b) + 2b2 > 0.2 pktZadanie 6, matura maj 2019, stara formułaRównanie (x-1)(x+2)/x-3 = 01 pktZadanie 28, matura maj 2019, stara formułaWykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność 3a2 - 2ab + 3b2 0.2 pktZadanie 7, matura maj 2018, stara formułaRównanie x2 + 2x/x2 - 4 = 01 pktZadanie 28, matura maj 2018, stara formułaUdowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest nierówność 1/2a + 1/2b 2/a + b.2 pktZadanie 5, matura maj 2017, stara formułaRówność (x 2 - 2 )2 = (2 + 2 )2 jest1 pktZadanie 27, matura maj 2017, stara formułaWykaż, że liczba 42017 + 42018 + 42019 + 42020 jest podzielna przez 17.2 pktZadanie 4, matura maj 2016, stara formułaRówność (2 2 - a )2 = 17 - 12 2 jest prawdziwa dla1 pktZadanie 9, matura maj 2016, stara formułaRównanie wymierne 3x - 1/x + 5 = 3, gdzie x -5,1 pktZadanie 30, matura maj 2016, stara formułaCiąg (an) jest określony wzorem an = 2n2 + 2n dla n 1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego cią…2 pktZadanie 6, matura maj 2015, stara formułaDziedziną funkcji f określonej wzorem f(x) = x + 4/x2 - 4x może być zbiór1 pktZadanie 7, matura maj 2015, stara formułaRozwiązaniem równania 2x - 4/3 - x = 4/3 jest liczba1 pktZadanie 26, matura maj 2015, stara formułaWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność 4x2 - …2 pktZadanie 3, matura maj 2014, stara formułaWartość wyrażenia 2/ 3 - 1 - 2/ 3 + 1 jest równa1 pktZadanie 5, matura maj 2014, stara formułaWspólnym pierwiastkiem równań (x2 - 1)(x - 10)(x - 5) = 0 oraz 2x - 10/x - 1 = 0 jest liczba1 pktZadanie 28, matura maj 2014, stara formułaUdowodnij, że każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, ma tę własność, że reszta …2 pktZadanie 7, matura maj 2013, stara formułaDla każdej liczby rzeczywistej x, wyrażenie 4x2 - 12x + 9 jest równe1 pktZadanie 28, matura maj 2013, stara formułaUdowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z takich, że x + y + z = 0, prawdziwa jest nierówność xy…2 pktZadanie 31, matura maj 2013, stara formułaWykaż, że liczba 6100 - 2 699 + 10 698 jest podzielna przez 17.2 pktZadanie 4, matura sierpień 2012, stara formułaLiczba (2 - 3 2)2 jest równa1 pktZadanie 10, matura sierpień 2012, stara formułaWielomian W(x) = x6 + x3 - 2 jest równy iloczynowi1 pktZadanie 11, matura sierpień 2012, stara formułaRównanie (x + 3)(x - 2)/(x - 3)(x + 2) = 0 ma1 pktZadanie 31, matura sierpień 2012, stara formułaWykaż, że jeżeli c < 0, to trójmian kwadratowy y = x2 + bx + c ma dwa różne miejsca zerowe.2 pktZadanie 13, matura czerwiec 2012, stara formułaWyrażenie 3x + 1/x - 2 - 2x - 1/x + 3 jest równe1 pktZadanie 21, matura czerwiec 2012, stara formułaRówność (a + 2 2)2 = a2 + 28 2 + 8 zachodzi dla1 pktZadanie 29, matura czerwiec 2012, stara formułaUzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.2 pktZadanie 3, matura maj 2011, stara formułaWyrażenie 5a2 - 10ab + 15a jest równe iloczynowi1 pktZadanie 25, matura maj 2011, stara formułaUzasadnij, że jeżeli a + b = 1 i a2 + b2 = 7, to a4 + b4 = 31.2 pktZadanie 5, matura maj 2010, stara formułaDane są wielomiany W(x) = -2x3 + 5x2 - 3 oraz P(x) = 2x3 + 12x. Wielomian W(x) + P(x) jest równy1 pktZadanie 30, matura maj 2010, stara formułaWykaż, że jeśli a > 0, to a2 + 1/a + 1 a + 1/2.2 pkt