Zadanie 28: matura z matematyki maj 2014, stara formuła

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Wyrażenia algebraiczne · Dowody (podzielność, nierówności)

Teoria: Dowody (podzielność, nierówności)

Udowodnij, że każda liczba całkowita $k$, która przy dzieleniu przez $7$ daje resztę $2$, ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby $3k^2$ przez $7$ jest równa $5$.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu

Zadanie 28 z arkusza CKE, maj 2014 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: Dla $k = 7m + 2$ mamy $3k^2 = 7(21m^2 + 12m + 1) + 5$, więc reszta z dzielenia $3k^2$ przez $7$ wynosi $5$.

Schemat: Podzielność lub reszta z dzielenia wyrażenia z n · pojawił się w 10 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 7, matura maj 2026, zadanie 5, matura maj 2025, zadanie 3, matura maj 2024

Na maturze zdający zdobyli średnio 8% punktów za to zadanie (bardzo trudne). Średni wynik całego arkusza: 48%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Liczba dająca przy dzieleniu przez $7$ resztę $2$ ma postać $k = 7m + 2$, gdzie $m$ jest liczbą całkowitą.
2.
Obliczamy: $k^2 = 49m^2 + 28m + 4$, więc $3k^2 = 147m^2 + 84m + 12$.
3.
Rozbijamy $12 = 7 + 5$ i wyłączamy $7$: $3k^2 = 7(21m^2 + 12m + 1) + 5$.
4.
Liczba $21m^2 + 12m + 1$ jest całkowita, a $0 \le 5 < 7$.
5.
Zatem reszta z dzielenia $3k^2$ przez $7$ jest równa $5$, co należało udowodnić.

Odpowiedź: Dla $k = 7m + 2$ mamy $3k^2 = 7(21m^2 + 12m + 1) + 5$, więc reszta z dzielenia $3k^2$ przez $7$ wynosi $5$.

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Dowody (podzielność, nierówności)” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Dowody (podzielność, nierówności)

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 7, matura maj 2026Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba 7n2 + 21n jest podzielna przez 14.2 pkt Zadanie 21, matura maj 2026Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a oraz |LM| = b. Dwusieczna kąta LMK przecina bok KL w punkcie N (zobac…2 pkt Zadanie 5, matura marzec 2026Wykaż, że liczba 25014 - 24994 jest podzielna przez 10\,000.2 pkt Zadanie 21, matura marzec 2026Dany jest trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD, w którym |AB| = 2 |CD|. Przekątna AC tego trapezu je…3 pkt Zadanie 5, matura maj 2025Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej n liczba 3n2 + 2n + 7 jest podzielna przez 4.2 pkt Zadanie 3, matura grudzień 2024Wykaż, że liczba 2100 + 449 + 1624 jest podzielna przez 21.2 pkt

← Zadanie 27 Zadanie 29 →

Źródło treści: arkusz CKE s-1405-arkusz.pdf (strona 12), zasady oceniania: s-1405-zasady.pdf.