Zadanie 30: matura z matematyki maj 2010, stara formuła

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Wyrażenia algebraiczne · Dowody (podzielność, nierówności)

Wykaż, że jeśli $a > 0$, to $\dfrac{a^2 + 1}{a + 1} \ge \dfrac{a + 1}{2}$.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: Nierówność jest równoważna $(a - 1)^2 \ge 0$, co jest zawsze prawdą.

Schemat: Dowód nierówności algebraicznej (sprowadzenie do kwadratu) · pojawił się w 14 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 32, matura maj 2023, formuła 2015, zadanie 31, matura maj 2022, formuła 2015, zadanie 30, matura maj 2021, formuła 2015

Na maturze zdający zdobyli średnio 16% punktów za to zadanie (bardzo trudne). Średni wynik całego arkusza: 58.52%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Dla $a > 0$ mianowniki $a + 1$ i $2$ są dodatnie, więc możemy pomnożyć obie strony przez $2(a + 1)$ bez zmiany kierunku nierówności: $2(a^2 + 1) \ge (a + 1)^2$.
2.
Wymnażamy: $2a^2 + 2 \ge a^2 + 2a + 1$.
3.
Przenosimy wszystko na lewą stronę: $a^2 - 2a + 1 \ge 0$, czyli $(a - 1)^2 \ge 0$.
4.
Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc ostatnia nierówność jest prawdziwa, a przekształcenia były równoważne.
5.
Zatem dla każdego $a > 0$ zachodzi $\dfrac{a^2 + 1}{a + 1} \ge \dfrac{a + 1}{2}$, co kończy dowód.

Odpowiedź: Nierówność jest równoważna $(a - 1)^2 \ge 0$, co jest zawsze prawdą.

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Dowody (podzielność, nierówności)” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Źródło treści: arkusz CKE s-1005-arkusz.pdf (strona 12), zasady oceniania: s-1005-zasady.pdf.