matmaradar
Egzamin ósmoklasistyMaturaNaukaZadania CKETematyMoje konto
Zaloguj sięZacznij za darmoZacznij

Zadanie 28: matura z matematyki maj 2019, stara formuła

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Wyrażenia algebraiczne · Dowody (podzielność, nierówności)

Teoria: Dowody (podzielność, nierówności)

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $3a^2 - 2ab + 3b^2 \ge 0$.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu
Zadanie 28 z arkusza CKE, maj 2019 (oryginał)
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź: Dowód: $3a^2 - 2ab + 3b^2 = (a - b)^2 + 2a^2 + 2b^2 \ge 0$

Schemat: Dowód nierówności algebraicznej (sprowadzenie do kwadratu) · pojawił się w 14 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 32, matura maj 2023, formuła 2015, zadanie 31, matura maj 2022, formuła 2015, zadanie 30, matura maj 2021, formuła 2015

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie
  1. 1.
    Rozbijamy lewą stronę: $3a^2 - 2ab + 3b^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + 2a^2 + 2b^2$.
  2. 2.
    Pierwszy nawias to kwadrat różnicy: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.
  3. 3.
    Otrzymujemy $3a^2 - 2ab + 3b^2 = (a - b)^2 + 2a^2 + 2b^2$.
  4. 4.
    Każdy ze składników $(a - b)^2$, $2a^2$, $2b^2$ jest nieujemny jako (wielokrotność) kwadratu liczby rzeczywistej, więc ich suma też jest nieujemna.
  5. 5.
    Zatem $3a^2 - 2ab + 3b^2 \ge 0$ dla dowolnych $a, b$, co kończy dowód.
Odpowiedź: Dowód: $3a^2 - 2ab + 3b^2 = (a - b)^2 + 2a^2 + 2b^2 \ge 0$
Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE
Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 28Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 28Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 28Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 28
Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Dowody (podzielność, nierówności)” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozęLekcja: Dowody (podzielność, nierówności)

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 7, matura maj 2026Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba 7n2 + 21n jest podzielna przez 14.2 pktZadanie 21, matura maj 2026Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a oraz |LM| = b. Dwusieczna kąta LMK przecina bok KL w punkcie N (zobac…2 pktZadanie 5, matura marzec 2026Wykaż, że liczba 25014 - 24994 jest podzielna przez 10\,000.2 pktZadanie 21, matura marzec 2026Dany jest trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD, w którym |AB| = 2 |CD|. Przekątna AC tego trapezu je…3 pktZadanie 5, matura maj 2025Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej n liczba 3n2 + 2n + 7 jest podzielna przez 4.2 pktZadanie 3, matura grudzień 2024Wykaż, że liczba 2100 + 449 + 1624 jest podzielna przez 21.2 pkt
← Zadanie 27Zadanie 29 →

Źródło treści: arkusz CKE s-1905-arkusz.pdf (strona 16), zasady oceniania: s-1905-zasady.pdf.