Zadanie 14: matura z matematyki grudzień 2022
Poziom podstawowy · arkusz diagnostyczny · 2 pkt · zadanie otwarte · Wyrażenia algebraiczne · Dowody (podzielność, nierówności)
Teoria: Dowody (podzielność, nierówności)
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba $5n^2 + 15n$ jest podzielna przez $10$.
Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź: $5n^2 + 15n = 5 \cdot n(n + 3)$, a iloczyn $n(n + 3)$ jest zawsze parzysty, więc liczba jest podzielna przez $10$.
Schemat: Podzielność lub reszta z dzielenia wyrażenia z n · pojawił się w 10 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 7, matura maj 2026, zadanie 5, matura maj 2025, zadanie 3, matura maj 2024
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Wyłączamy wspólny czynnik: $5n^2 + 15n = 5n(n + 3)$.
- 2.Liczby $n$ i $n + 3$ różnią się o liczbę nieparzystą, więc mają różną parzystość – jedna z nich jest parzysta.
- 3.Zatem $n(n + 3) = 2k$ dla pewnej liczby całkowitej $k$, czyli $5n(n + 3) = 10k$.
- 4.Sprawdzenie innym sposobem: $5n^2 + 15n = 5n(n + 1) + 10n$, a $n(n + 1)$ to iloczyn kolejnych liczb, więc jest parzysty.
- 5.Zatem $5n^2 + 15n$ jest podzielna przez $10$ dla każdej liczby naturalnej $n$.
Odpowiedź: $5n^2 + 15n = 5 \cdot n(n + 3)$, a iloczyn $n(n + 3)$ jest zawsze parzysty, więc liczba jest podzielna przez $10$.
W aplikacji każde zadanie z tematu „Dowody (podzielność, nierówności)” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Zadanie 7, matura maj 2026Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba 7n2 + 21n jest podzielna przez 14.2 pktZadanie 21, matura maj 2026Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a oraz |LM| = b. Dwusieczna kąta LMK przecina bok KL w punkcie N (zobac…2 pktZadanie 5, matura marzec 2026Wykaż, że liczba 25014 - 24994 jest podzielna przez 10\,000.2 pktZadanie 21, matura marzec 2026Dany jest trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD, w którym |AB| = 2 |CD|. Przekątna AC tego trapezu je…3 pktZadanie 5, matura maj 2025Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej n liczba 3n2 + 2n + 7 jest podzielna przez 4.2 pktZadanie 3, matura grudzień 2024Wykaż, że liczba 2100 + 449 + 1624 jest podzielna przez 21.2 pkt
Źródło treści: arkusz CKE 2212-arkusz.pdf (strona 13), zasady oceniania: .