Zadanie 26: matura z matematyki maj 2015, stara formuła
Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Wyrażenia algebraiczne · Dowody (podzielność, nierówności)
Teoria: Dowody (podzielność, nierówności)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $4x^2 - 8xy + 5y^2 \ge 0$.
Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu
Pokaż odpowiedź
Schemat: Dowód nierówności algebraicznej (sprowadzenie do kwadratu) · pojawił się w 14 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 32, matura maj 2023, formuła 2015, zadanie 31, matura maj 2022, formuła 2015, zadanie 30, matura maj 2021, formuła 2015
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Rozbijamy $5y^2$ na $4y^2 + y^2$: $4x^2 - 8xy + 5y^2 = (4x^2 - 8xy + 4y^2) + y^2$.
- 2.Wyrażenie w nawiasie to kwadrat różnicy: $4x^2 - 8xy + 4y^2 = (2x - 2y)^2$.
- 3.Zatem $4x^2 - 8xy + 5y^2 = (2x - 2y)^2 + y^2$.
- 4.Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc $(2x - 2y)^2 \ge 0$ i $y^2 \ge 0$, a suma liczb nieujemnych jest nieujemna.
- 5.Stąd $4x^2 - 8xy + 5y^2 \ge 0$ dla dowolnych $x$, $y$, co należało wykazać.
W aplikacji każde zadanie z tematu „Dowody (podzielność, nierówności)” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Źródło treści: arkusz CKE s-1505-arkusz.pdf (strona 12), zasady oceniania: s-1505-zasady.pdf.