Zadanie 3: matura z matematyki maj 2023

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Liczby rzeczywiste · Dowody (podzielność, nierówności)

Wykaż.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ liczba $(2n + 1)^2 - 1$ jest podzielna przez $8$.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $(2n + 1)^2 - 1 = 4n(n + 1)$, gdzie $n(n+1)$ jest liczbą parzystą, więc całość dzieli się przez $8$.

Schemat: Podzielność lub reszta z dzielenia wyrażenia z n · pojawił się w 10 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 7, matura maj 2026, zadanie 5, matura maj 2025, zadanie 3, matura maj 2024

Na maturze zdający zdobyli średnio 43% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 71%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Rozwijamy kwadrat sumy: $(2n + 1)^2 - 1 = 4n^2 + 4n + 1 - 1 = 4n^2 + 4n$.
2.
Wyłączamy wspólny czynnik: $4n^2 + 4n = 4n(n + 1)$.
3.
Liczby $n$ i $n + 1$ to dwie kolejne liczby naturalne, więc jedna z nich jest parzysta, iloczyn $n(n+1)$ jest podzielny przez $2$, czyli $n(n+1) = 2k$ dla pewnej liczby naturalnej $k$.
4.
Stąd $(2n + 1)^2 - 1 = 4 \cdot 2k = 8k$.
5.
Liczba $(2n + 1)^2 - 1$ jest podzielna przez $8$, co kończy dowód.

Odpowiedź: $(2n + 1)^2 - 1 = 4n(n + 1)$, gdzie $n(n+1)$ jest liczbą parzystą, więc całość dzieli się przez $8$.

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Dowody (podzielność, nierówności)” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Źródło treści: arkusz CKE 2305-arkusz.pdf (strona 5), zasady oceniania: 2305-zasady.pdf.