Zadanie 9: matura z matematyki marzec 2022
Poziom podstawowy · arkusz pokazowy · 2 pkt · zadanie otwarte · Liczby rzeczywiste · Dowody (podzielność, nierówności)
Teoria: Dowody (podzielność, nierówności)
Wykaż.
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej $n$ liczba $n^2 + 2023$ jest podzielna przez $8$.
Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź: $n^2 + 2023 = 4k(k + 1) + 8 \cdot 253$, gdzie $k(k + 1)$ jest parzyste, więc liczba dzieli się przez $8$.
Schemat: Podzielność lub reszta z dzielenia wyrażenia z n · pojawił się w 10 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 7, matura maj 2026, zadanie 5, matura maj 2025, zadanie 3, matura maj 2024
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Liczbę nieparzystą zapisujemy jako $n = 2k + 1$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą.
- 2.Wtedy $n^2 + 2023 = 4k^2 + 4k + 1 + 2023 = 4k(k + 1) + 2024$.
- 3.Spośród dwóch kolejnych liczb całkowitych $k$ i $k + 1$ jedna jest parzysta, więc $k(k + 1) = 2m$ i $4k(k + 1) = 8m$ dzieli się przez $8$.
- 4.Także $2024 = 8 \cdot 253$ dzieli się przez $8$, a suma liczb podzielnych przez $8$ jest podzielna przez $8$.
- 5.Teza jest prawdziwa.
Odpowiedź: $n^2 + 2023 = 4k(k + 1) + 8 \cdot 253$, gdzie $k(k + 1)$ jest parzyste, więc liczba dzieli się przez $8$.
Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE
W aplikacji każde zadanie z tematu „Dowody (podzielność, nierówności)” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Zadanie 7, matura maj 2026Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba 7n2 + 21n jest podzielna przez 14.2 pktZadanie 21, matura maj 2026Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a oraz |LM| = b. Dwusieczna kąta LMK przecina bok KL w punkcie N (zobac…2 pktZadanie 5, matura marzec 2026Wykaż, że liczba 25014 - 24994 jest podzielna przez 10\,000.2 pktZadanie 21, matura marzec 2026Dany jest trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD, w którym |AB| = 2 |CD|. Przekątna AC tego trapezu je…3 pktZadanie 5, matura maj 2025Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej n liczba 3n2 + 2n + 7 jest podzielna przez 4.2 pktZadanie 3, matura grudzień 2024Wykaż, że liczba 2100 + 449 + 1624 jest podzielna przez 21.2 pkt
Źródło treści: arkusz CKE 2203-arkusz.pdf (strona 7), zasady oceniania: 2203-zasady.pdf.