Zadanie 19: matura z matematyki maj 2016, stara formuła

Poziom podstawowy · termin główny · 1 pkt · zadanie zamknięte · Planimetria · Trójkąty i wielokąty foremne

Wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź.

Okręgi o promieniach $3$ i $4$ są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu $4$ w punkcie $P$ przechodzi przez środek okręgu o promieniu $3$ (zobacz rysunek). Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności $P$, jest równe

A $14$
B $2\sqrt{33}$
C $4\sqrt{33}$
D $12$

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 19 z arkusza CKE, maj 2016 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $2\sqrt{33}$

Schemat: Twierdzenie Pitagorasa (wysokość, boki, cięciwa) · pojawił się w 9 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 19, matura grudzień 2024, zadanie 20, matura maj 2021, formuła 2015, zadanie 33, matura marzec 2021, formuła 2015

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Okręgi są styczne zewnętrznie, więc odległość środków to suma promieni: $|O_1O_2| = 3 + 4 = 7$.
2.
Promień $O_2P$ jest prostopadły do stycznej w punkcie $P$, więc trójkąt $O_1PO_2$ jest prostokątny z kątem prostym przy $P$ i $|O_2P| = 4$.
3.
Z twierdzenia Pitagorasa: $|O_1P| = \sqrt{49 - 16} = \sqrt{33}$.
4.
Pole: $\dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sqrt{33} = 2\sqrt{33}$.
5.
Odpowiedź B: $2\sqrt{33}$.

Odpowiedź: $2\sqrt{33}$

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Trójkąty i wielokąty foremne” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Trójkąty i wielokąty foremne

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 20, matura maj 2026Na płaszczyźnie dane są cztery proste: k, l, m oraz n. Proste k oraz l są równoległe. Prosta m przecina proste…1 pkt Zadanie 24.2, matura maj 2026W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkty A = (0, -3), B = (2, 1) oraz C = (0, 2) są wierzchołkami …1 pkt Zadanie 33.2, matura maj 2026W chwili t = 0 z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość h, na której znajdu…1 pkt Zadanie 20, matura maj 2025W trójkącie równoramiennym ABC dane są: |AC| = |BC| = 4 i |AB| = 3. Na boku BC, między punktami B i C, wybrano…1 pkt Zadanie 19, matura grudzień 2024W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 7,5. Krótsza przekątna AC ma długość równą 6 i dzi…4 pkt Zadanie 20, matura maj 2024Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a, |LM| = b oraz a b. Dwusieczna kąta KML przecina bok KL w punkcie N t…1 pkt

← Zadanie 18 Zadanie 20 →

Źródło treści: arkusz CKE s-1605-arkusz.pdf (strona 8), zasady oceniania: s-1605-zasady.pdf.