Zadanie 34: matura z matematyki maj 2014, stara formuła

Poziom podstawowy · termin główny · 4 pkt · zadanie otwarte · Planimetria · Trójkąty i wielokąty foremne

Kąt $CAB$ trójkąta prostokątnego $ACB$ ma miarę $30^\circ$. Pole kwadratu $DEFG$, wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe $4$. Wierzchołek $D$ kwadratu leży na przyprostokątnej $AC$, wierzchołek $G$ na przyprostokątnej $BC$, a wierzchołki $E$ i $F$ na przeciwprostokątnej $AB$. Oblicz pole trójkąta $ACB$.

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 34 z arkusza CKE, maj 2014 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: Pole trójkąta $ACB$ jest równe $\dfrac{24 + 19\sqrt{3}}{6} = 4 + \dfrac{19\sqrt{3}}{6}$.

Schemat: Inne zadania z trójkątami (wysokość, kwadrat wpisany w trójkąt) · pojawił się w 2 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 22, matura maj 2023, formuła 2015

Na maturze zdający zdobyli średnio 46% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 48%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Pole kwadratu jest równe $4$, więc jego bok ma długość $2$. Kąt prosty jest przy $C$, więc $|\angle ABC| = 60^\circ$.
2.
Trójkąt $ADE$ jest prostokątny (kąt prosty przy $E$) i $|\angle DAE| = 30^\circ$, więc $|AD| = \dfrac{|DE|}{\sin 30^\circ} = 4$ oraz $|\angle ADE| = 60^\circ$.
3.
Przy punkcie $D$: $|\angle CDG| = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ$. W trójkącie prostokątnym $DCG$ o przeciwprostokątnej $|DG| = 2$: $|CD| = 2\cos 30^\circ = \sqrt{3}$, $|CG| = 2\sin 30^\circ = 1$.
4.
W trójkącie prostokątnym $GFB$ (kąt prosty przy $F$, $|\angle GBF| = 60^\circ$): $|BG| = \dfrac{|GF|}{\sin 60^\circ} = \dfrac{4}{\sqrt{3}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}$.
5.
Przyprostokątne trójkąta $ACB$: $|AC| = 4 + \sqrt{3}$, $|BC| = 1 + \dfrac{4\sqrt{3}}{3}$ (sprawdzenie: $|BC| \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3} + 4 = |AC|$, zgodnie z $\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$).
6.
$P = \dfrac{1}{2}(4 + \sqrt{3})\left(1 + \dfrac{4\sqrt{3}}{3}\right) = \dfrac{1}{2}\left(8 + \dfrac{19\sqrt{3}}{3}\right) = 4 + \dfrac{19\sqrt{3}}{6}$.

Odpowiedź: Pole trójkąta $ACB$ jest równe $\dfrac{24 + 19\sqrt{3}}{6} = 4 + \dfrac{19\sqrt{3}}{6}$.

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Trójkąty i wielokąty foremne” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Trójkąty i wielokąty foremne

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 20, matura maj 2026Na płaszczyźnie dane są cztery proste: k, l, m oraz n. Proste k oraz l są równoległe. Prosta m przecina proste…1 pkt Zadanie 24.2, matura maj 2026W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkty A = (0, -3), B = (2, 1) oraz C = (0, 2) są wierzchołkami …1 pkt Zadanie 33.2, matura maj 2026W chwili t = 0 z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość h, na której znajdu…1 pkt Zadanie 20, matura maj 2025W trójkącie równoramiennym ABC dane są: |AC| = |BC| = 4 i |AB| = 3. Na boku BC, między punktami B i C, wybrano…1 pkt Zadanie 19, matura grudzień 2024W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 7,5. Krótsza przekątna AC ma długość równą 6 i dzi…4 pkt Zadanie 20, matura maj 2024Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a, |LM| = b oraz a b. Dwusieczna kąta KML przecina bok KL w punkcie N t…1 pkt

← Zadanie 33 Cały arkusz

Źródło treści: arkusz CKE s-1405-arkusz.pdf (strona 18), zasady oceniania: s-1405-zasady.pdf.