Zadanie 33: matura z matematyki maj 2014, stara formuła

Poziom podstawowy · termin główny · 5 pkt · zadanie otwarte · Równania i nierówności · Równania kwadratowe

Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość $2{,}1$ km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy $1$ godzinę i $4$ minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o $1\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu

Zadanie 33 z arkusza CKE, maj 2014 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: Turysta wchodził na wzgórze ze średnią prędkością $3{,}5\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.

Schemat: Zadanie z treścią prowadzące do równania kwadratowego (prędkość, czas, koszt) · pojawił się w 8 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 23, matura maj 2021, formuła 2015, zadanie 33, matura maj 2016, stara formuła, zadanie 34, matura maj 2015, stara formuła

Na maturze zdający zdobyli średnio 13% punktów za to zadanie (bardzo trudne). Średni wynik całego arkusza: 48%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Niech $v$ – prędkość wchodzenia (w km/h); wtedy prędkość schodzenia to $v + 1$. Łączny czas: $1$ h $4$ min $= \dfrac{64}{60} = \dfrac{16}{15}$ h.
2.
Czas to droga podzielona przez prędkość: $\dfrac{2{,}1}{v} + \dfrac{2{,}1}{v + 1} = \dfrac{16}{15}$.
3.
Mnożymy przez $15v(v + 1)$: $31{,}5(v + 1) + 31{,}5v = 16v(v + 1)$, czyli $16v^2 - 47v - 31{,}5 = 0$, a po pomnożeniu przez $2$: $32v^2 - 94v - 63 = 0$.
4.
$\Delta = 94^2 + 4 \cdot 32 \cdot 63 = 8836 + 8064 = 16\,900$, $\sqrt{\Delta} = 130$. Stąd $v = \dfrac{94 + 130}{64} = 3{,}5$ lub $v = \dfrac{94 - 130}{64} < 0$ (odrzucamy).
5.
Sprawdzenie: $\dfrac{2{,}1}{3{,}5} = 0{,}6$ h $= 36$ min, $\dfrac{2{,}1}{4{,}5} = \dfrac{7}{15}$ h $= 28$ min; razem $64$ minuty.
6.
Turysta wchodził na wzgórze z prędkością $3{,}5\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.

Odpowiedź: Turysta wchodził na wzgórze ze średnią prędkością $3{,}5\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Równania kwadratowe” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Równania kwadratowe

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 11, matura maj 2026Na przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika. arrayc|c Rodzaj biletu & Cena…2 pkt Zadanie 9, matura maj 2025Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę 1\,200\,000 złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów: A …2 pkt Zadanie 9, matura grudzień 2023Rozwiąż równanie 2x3 + 3x2 = 10x + 153 pkt Zadanie 6, matura wrzesień 2022Rozwiąż równanie 3x3 - 6x2 - 27x + 54 = 0.3 pkt Zadanie 7, matura maj 2023Jednym z rozwiązań równania 3(x2 - 2)(x + 3) = 0 jest liczba1 pkt Zadanie 8, matura maj 2022Iloczyn wszystkich rozwiązań równania 2x(x2 - 9)(x + 1) = 0 jest równy1 pkt

← Zadanie 32 Zadanie 34 →

Źródło treści: arkusz CKE s-1405-arkusz.pdf (strona 17), zasady oceniania: s-1405-zasady.pdf.