Zadanie 34: matura z matematyki maj 2019, stara formuła

Poziom podstawowy · termin główny · 5 pkt · zadanie otwarte · Stereometria · Przekątne i kąty w bryłach

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $6$. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt $\alpha$ jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta $\alpha$.

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 34 z arkusza CKE, maj 2019 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$

Schemat: Kąt nachylenia przekątnej, krawędzi lub ściany do podstawy · pojawił się w 14 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 25.2, matura maj 2024, zadanie 25, matura maj 2023, zadanie 30.2, matura grudzień 2022

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Pole podstawy $P_p = 36$, więc pole całkowite $P_c = 4 \cdot 36 = 144$, a pole boczne $P_b = 144 - 36 = 108$.
2.
Jedna ściana boczna ma pole $27 = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot h_b$, więc wysokość ściany bocznej $h_b = 9$.
3.
Krawędź boczna $b$ jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych $h_b = 9$ i połowie krawędzi podstawy $3$: $b^2 = 81 + 9 = 90$, $b = 3\sqrt{10}$.
4.
Rzut krawędzi bocznej na podstawę to połowa przekątnej kwadratu: $|AO| = \dfrac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$.
5.
$\cos\alpha = \dfrac{|AO|}{|AS|} = \dfrac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{10}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
6.
$\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$.

Odpowiedź: $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Przekątne i kąty w bryłach” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Przekątne i kąty w bryłach

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 25, matura marzec 2026Dany jest sześcian ABCDEFGH (zobacz rysunek). Pole trójkąta ACH jest równe 4 3. Długość krawędzi tego sześcian…1 pkt Zadanie 31, matura maj 2025Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź BC ma długość 4 oraz suma długości wszystkic…4 pkt Zadanie 30, matura grudzień 2024Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź AE jest 3 razy dłuższa od krawędzi AB, a sum…4 pkt Zadanie 25.1, matura maj 2024Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6 (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniast…1 pkt Zadanie 25.2, matura maj 2024Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6 (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniast…1 pkt Zadanie 25, matura grudzień 2023Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 5. Wewnątrz sześcianu znajduje się punkt P (zobacz rysunek). S…1 pkt

← Zadanie 33 Cały arkusz

Źródło treści: arkusz CKE s-1905-arkusz.pdf (strona 24), zasady oceniania: s-1905-zasady.pdf.