Zadanie 26: matura z matematyki grudzień 2023
Poziom podstawowy · arkusz diagnostyczny · 3 pkt · zadanie otwarte · Stereometria · Objętości i pola brył
Zapisz obliczenia.
Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $384$. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze $\alpha$ taki, że $\operatorname{tg} \alpha = \dfrac{4}{3}$ (zobacz rysunek).
Oblicz wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa.
Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:
Pokaż odpowiedź
Schemat: Ostrosłup prawidłowy: wysokość, objętość, pole (kąt nachylenia) · pojawił się w 14 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 27, matura maj 2026, zadanie 26, matura marzec 2026, zadanie 24, matura grudzień 2024
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Oznaczamy krawędź podstawy przez $a$, wysokość ostrosłupa przez $H$. Spodek wysokości jest środkiem kwadratu, a jego odległość od środka krawędzi podstawy to $\dfrac{a}{2}$.
- 2.Z trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $H$ i $\dfrac{a}{2}$: $\operatorname{tg} \alpha = \dfrac{H}{a/2} = \dfrac{4}{3}$, stąd $H = \dfrac{2a}{3}$.
- 3.Objętość: $V = \dfrac{1}{3}a^2 \cdot \dfrac{2a}{3} = \dfrac{2a^3}{9} = 384$, czyli $a^3 = 1728$ i $a = 12$.
- 4.Wtedy $\dfrac{a}{2} = 6$ i $H = 8$, więc wysokość ściany bocznej $h = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$.
- 5.Sprawdzenie: $V = \dfrac{1}{3} \cdot 144 \cdot 8 = 384$ oraz $\cos \alpha = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$, co zgadza się z $\operatorname{tg} \alpha = \dfrac{4}{3}$.
- 6.Wysokość ściany bocznej jest równa $10$.
W aplikacji każde zadanie z tematu „Objętości i pola brył” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Źródło treści: arkusz CKE 2312-arkusz.pdf (strona 24), zasady oceniania: .