Zadanie 26: matura z matematyki maj 2022, formuła 2015

Poziom podstawowy · termin główny · 1 pkt · zadanie zamknięte · Stereometria · Przekątne i kąty w bryłach

Wybierz poprawną odpowiedź.

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $a$. Punkty $E$, $F$, $G$, $B$ są wierzchołkami ostrosłupa $EFGB$ (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa $EFGB$ jest równe

A $a^2$
B $\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \cdot a^2$
C $\dfrac{3}{2}a^2$
D $\dfrac{3 + \sqrt{3}}{2} \cdot a^2$

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 26 z arkusza CKE, maj 2022 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $\dfrac{3 + \sqrt{3}}{2} \cdot a^2$

Schemat: Trójkąty i przekroje w sześcianie lub graniastosłupie · pojawił się w 6 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 25, matura marzec 2026, zadanie 25, matura grudzień 2023, zadanie 24, matura maj 2016, formuła 2015

Na maturze zdający zdobyli średnio 44% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 58%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Krawędzie $FE$, $FG$, $FB$ są krawędziami sześcianu wychodzącymi z wierzchołka $F$, więc trójkąty $EFG$, $EFB$, $GFB$ są prostokątne o przyprostokątnych $a$ i $a$.
2.
Każdy z tych trzech trójkątów ma pole $\dfrac{a^2}{2}$, razem $\dfrac{3}{2}a^2$.
3.
Czwarta ściana $EGB$ ma boki będące przekątnymi ścian sześcianu, $a\sqrt{2}$, więc jest równoboczna: $P = \dfrac{(a\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2$.
4.
Pole całkowite: $\dfrac{3}{2}a^2 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2 = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{2} \cdot a^2$.
5.
Odpowiedź D.

Odpowiedź: $\dfrac{3 + \sqrt{3}}{2} \cdot a^2$

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Przekątne i kąty w bryłach” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Przekątne i kąty w bryłach

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 25, matura marzec 2026Dany jest sześcian ABCDEFGH (zobacz rysunek). Pole trójkąta ACH jest równe 4 3. Długość krawędzi tego sześcian…1 pkt Zadanie 31, matura maj 2025Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź BC ma długość 4 oraz suma długości wszystkic…4 pkt Zadanie 30, matura grudzień 2024Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź AE jest 3 razy dłuższa od krawędzi AB, a sum…4 pkt Zadanie 25.1, matura maj 2024Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6 (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniast…1 pkt Zadanie 25.2, matura maj 2024Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6 (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniast…1 pkt Zadanie 25, matura grudzień 2023Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 5. Wewnątrz sześcianu znajduje się punkt P (zobacz rysunek). S…1 pkt

← Zadanie 25 Zadanie 27 →

Źródło treści: arkusz CKE f15-2205-arkusz.pdf (strona 14), zasady oceniania: f15-2205-zasady.pdf.