Zadanie 35: matura z matematyki maj 2022, formuła 2015

Poziom podstawowy · termin główny · 5 pkt · zadanie otwarte · Funkcje · Funkcja kwadratowa

Wykres funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x) = ax^2 + bx + c$ ma z prostą o równaniu $y = 6$ dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty $A = (-5, 0)$ i $B = (3, 0)$ należą do wykresu funkcji $f$. Oblicz wartości współczynników $a$, $b$ oraz $c$.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu

Zadanie 35 z arkusza CKE, maj 2022 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $a = -\dfrac{3}{8}$, $b = -\dfrac{3}{4}$, $c = \dfrac{45}{8}$

Schemat: Wzór funkcji kwadratowej z wierzchołka, miejsc zerowych lub punktu · pojawił się w 14 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 14, matura maj 2026, zadanie 12.1, matura maj 2025, zadanie 12.2, matura grudzień 2024

Na maturze zdający zdobyli średnio 28% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 58%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Punkty $A$ i $B$ wyznaczają miejsca zerowe $-5$ i $3$, więc $f(x) = a(x + 5)(x - 3)$.
2.
Oś symetrii paraboli przechodzi przez środek odcinka między miejscami zerowymi: $p = \dfrac{-5 + 3}{2} = -1$.
3.
Prosta pozioma $y = 6$ ma z parabolą dokładnie jeden punkt wspólny tylko wtedy, gdy przechodzi przez wierzchołek, więc $q = f(-1) = 6$.
4.
Podstawiamy: $a \cdot (-1 + 5)(-1 - 3) = 6$, czyli $-16a = 6$, skąd $a = -\dfrac{3}{8}$.
5.
Wymnażamy: $f(x) = -\dfrac{3}{8}(x^2 + 2x - 15) = -\dfrac{3}{8}x^2 - \dfrac{3}{4}x + \dfrac{45}{8}$.
6.
$a = -\dfrac{3}{8}$, $b = -\dfrac{3}{4}$, $c = \dfrac{45}{8}$.

Odpowiedź: $a = -\dfrac{3}{8}$, $b = -\dfrac{3}{4}$, $c = \dfrac{45}{8}$

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE