matmaradarZaloguj się Zacznij za darmo

Funkcja kwadratowa

Matura podstawowa z matematyki · Funkcje · tier S · 75 zadań z arkuszy CKE

Wykres funkcji kwadratowej to parabola z wierzchołkiem $W = (p, q)$.

Wzory w skrócie

Postać ogólna $f(x) = ax^2 + bx + c$, kanoniczna $f(x) = a(x - p)^2 + q$
$p = -\dfrac{b}{2a}$, $\quad q = f(p) = -\dfrac{\Delta}{4a}$
Oś symetrii paraboli: prosta $x = p$
$a > 0$: najmniejsza wartość to $q$; $a < 0$: największa wartość to $q$

Jak rozpoznać zadanie

Prawie każde zadanie z parabolą zaczyna się od wierzchołka. Na przedziale domkniętym porównaj wartości w końcach i w $p$ (jeśli należy do przedziału).

Przykład z rozwiązaniem

Wierzchołkiem paraboli o równaniu $y = -2(x - 4)^2 + 5$ jest punkt

A $W = (5,\ 4)$
B $W = (-4,\ 5)$
C $W = (4,\ -5)$
D $W = (4,\ 5)$

Rozwiązanie

1.
Funkcja jest w postaci kanonicznej $f(x) = a(x - p)^2 + q$: $x - 4 = x - 4$, więc $p = 4$.
2.
Liczba dodana na końcu to $q = 5$. Wierzchołek: $W = (4,\ 5)$.
3.
Na wykresie: ramiona paraboli są skierowane w dół (a < 0), więc wierzchołek to najwyższy punkt wykresu. Przerywana prosta $x = 4$ to oś symetrii paraboli, przechodzi przez wierzchołek.

Odpowiedź: D. $W = (4,\ 5)$

W aplikacji dostajesz takie zadania z innymi liczbami i wpisujesz wynik każdego kroku.

Typowe błędy

Te pomyłki prowadzą do błędnych odpowiedzi w zadaniach zamkniętych z tego tematu:

Sprawdź kierunek ramion paraboli: przy a > 0 funkcja przyjmuje wartości od q w górę.
Zbiór wartości to drugie współrzędne (y), granicą jest q, a nie p.
Wartość q jest przyjmowana w wierzchołku, więc nawias przy q jest kwadratowy.
W postaci a(x − p)² + q przy „x + 3” pierwsza współrzędna wierzchołka to −3, a nie 3.

Na maturze

10 z 10arkuszy z tym tematem

29zadań w arkuszach formuły 2023

5,3pkt średnio na arkusz

Stier · 11,1% punktów

Policzone z 10 arkuszy CKE formuły 2023 z lat 2022–2026 (tej formuły dotyczy matura 2027). Razem 53 pkt z tego tematu. Jak liczymy tier listę.

Co trzeba umieć wcześniej

Mapa wszystkich tematów

Ten temat jest potrzebny do

Na tym temacie nie stoją inne tematy matury podstawowej.

Ćwicz „Funkcja kwadratowa” w aplikacji

Lekcja z teorią, zadania krok po kroku z podpowiedziami i powtórka, zanim temat wyleci z głowy.

Otwórz lekcję Zadania z działu „Funkcje”

Zadania z arkuszy CKE z tego tematu

75 zadań z oficjalnych matur, każde z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Formuła 2023 · 29 zadań

Zadanie 14, matura maj 2026W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w pun…4 pkt Zadanie 12, matura marzec 2026Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = -16x2 + 40x + 11. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,…3 pkt Zadanie 32.1, matura marzec 2026Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = -5(x - )2 + 2. Funkcja f przyjmuje wartość największą w prze…1 pkt Zadanie 32.2, matura marzec 2026Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = -5(x - )2 + 2. Funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą w prz…1 pkt Zadanie 12.1, matura maj 2025W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwa…2 pkt Zadanie 12.2, matura maj 2025W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwa…1 pkt Zadanie 12.3, matura maj 2025W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwa…1 pkt Zadanie 12.1, matura grudzień 2024W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola, której wierzchołki…1 pkt Zadanie 12.2, matura grudzień 2024W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola, której wierzchołki…2 pkt Zadanie 12.3, matura grudzień 2024W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola, której wierzchołki…1 pkt Zadanie 14.1, matura maj 2024W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwa…1 pkt Zadanie 14.2, matura maj 2024W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwa…1 pkt Zadanie 14.3, matura maj 2024W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwa…1 pkt Zadanie 14.4, matura maj 2024W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwa…2 pkt Zadanie 11.1, matura grudzień 2023W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f (zobacz rys…1 pkt Zadanie 11.2, matura grudzień 2023W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f (zobacz rys…1 pkt Zadanie 11.3, matura grudzień 2023W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f (zobacz rys…2 pkt Zadanie 30, matura grudzień 2023Zgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, który nie jest równo…4 pkt Zadanie 14, matura maj 2023Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f jest liczba (-5). Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, bę…1 pkt Zadanie 7.1, matura grudzień 2022W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f(x) = ax2 + …1 pkt Zadanie 7.2, matura grudzień 2022W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f(x) = ax2 + …2 pkt Zadanie 9, matura grudzień 2022Dana jest funkcja kwadratowa f(x) = ax2 + bx + c, gdzie a, b i c są liczbami rzeczywistymi takimi, że a 0 oraz…1 pkt Zadanie 20, matura grudzień 2022Do wyznaczenia trzech boków pewnego kąpieliska w kształcie prostokąta należy użyć liny o długości 200 m. Czwar…4 pkt Zadanie 13.1, matura wrzesień 2022Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = -(x - 1)2 + 2. Wykresem funkcji f jest parabola, której wier…1 pkt Zadanie 13.2, matura wrzesień 2022Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = -(x - 1)2 + 2. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział1 pkt Zadanie 23, matura wrzesień 2022Rodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatk…4 pkt Zadanie 10.2, matura marzec 2022Dana jest funkcja kwadratowa f, której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (…1 pkt Zadanie 10.3, matura marzec 2022Dana jest funkcja kwadratowa f, której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (…3 pkt Zadanie 29, matura marzec 2022Rozważamy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym 200 i kącie ostrym o mierze 30 . Podaj wzór i dziedzinę f…4 pkt

Formuła 2015 · 22 zadania

Zadanie 32, matura maj 2024, formuła 2015Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej f(x) = x2 + bx+ c jest prosta o równaniu x= −2. Jednym z miejsc zero…2 pkt Zadanie 14, matura maj 2023, formuła 2015Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f jest liczba (-5). Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, bę…1 pkt Zadanie 12, matura maj 2022, formuła 2015Wykresem funkcji kwadratowej f(x) = 3x2 + bx + c jest parabola o wierzchołku w punkcie W = (-3, 2). Wzór tej f…1 pkt Zadanie 35, matura maj 2022, formuła 2015Wykres funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x) = ax2 + bx + c ma z prostą o równaniu y = 6 dokładnie jede…5 pkt Zadanie 12, matura maj 2021, formuła 2015Funkcja kwadratowa f określona wzorem f(x) = -2(x + 1)(x - 3) jest malejąca w przedziale1 pkt Zadanie 34, matura marzec 2021, formuła 2015Funkcja kwadratowa f(x) = x2 + bx + c nie ma miejsc zerowych. Wykaż, że 1 + c > b.2 pkt Zadanie 7, matura czerwiec 2020, formuła 2015Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = a(x - 1)(x - 3). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli …1 pkt Zadanie 8, matura czerwiec 2020, formuła 2015Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = a(x - 1)(x - 3). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli …1 pkt Zadanie 9, matura czerwiec 2020, formuła 2015Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = a(x - 1)(x - 3). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli …1 pkt Zadanie 10, matura marzec 2020, formuła 2015Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x) = x2 + bx + c. Współczy…1 pkt Zadanie 32, matura marzec 2020, formuła 2015Funkcja kwadratowa f określona wzorem f(x) = ax2 + bx + c ma dwa miejsca zerowe: x1 = -2 i x2 = 6. Wykres funk…4 pkt Zadanie 8, matura maj 2019, formuła 2015Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej para…1 pkt Zadanie 9, matura maj 2019, formuła 2015Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej para…1 pkt Zadanie 10, matura maj 2019, formuła 2015Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej para…1 pkt Zadanie 6, matura maj 2018, formuła 2015Funkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x) = -2(x + 3)(x - 5). Liczby x1, x2 są różnymi miejscami zerowymi …1 pkt Zadanie 9, matura maj 2018, formuła 2015Wykresem funkcji kwadratowej f(x) = x2 - 6x - 3 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych1 pkt Zadanie 10, matura maj 2017, formuła 2015Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f(x) = ax2 + bx + c, której miejsca zerowe to: -…1 pkt Zadanie 29, matura maj 2017, formuła 2015Funkcja kwadratowa f jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych x wzorem f(x) = ax2 + bx + c. Największ…4 pkt Zadanie 10, matura maj 2016, formuła 2015Informacja do zadań 10. i 11. Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadrat…1 pkt Zadanie 11, matura maj 2016, formuła 2015Informacja do zadań 10. i 11. Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadrat…1 pkt Zadanie 11, matura maj 2015, formuła 2015Funkcja kwadratowa określona jest wzorem f(x) = x2 + x + c. Jeżeli f(3) = 4, to1 pkt Zadanie 29, matura maj 2015, formuła 2015Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej f(x) = x2 - 6x + 3 w przedziale [0, 4].2 pkt

Stara formuła · 24 zadania

Zadanie 7, matura czerwiec 2020, stara formułaFunkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = a(x - 1)(x - 3). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli …1 pkt Zadanie 8, matura czerwiec 2020, stara formułaFunkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = a(x - 1)(x - 3). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli …1 pkt Zadanie 9, matura czerwiec 2020, stara formułaFunkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = a(x - 1)(x - 3). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli …1 pkt Zadanie 8, matura maj 2019, stara formułaNa rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej para…1 pkt Zadanie 9, matura maj 2019, stara formułaNa rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej para…1 pkt Zadanie 10, matura maj 2019, stara formułaNa rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej para…1 pkt Zadanie 6, matura maj 2018, stara formułaFunkcja kwadratowa określona jest wzorem f(x) = -2(x+3)(x-5). Liczby x1, x2 są różnymi miejscami zerowymi funk…1 pkt Zadanie 9, matura maj 2018, stara formułaWykresem funkcji kwadratowej f(x) = x2 - 6x - 3 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych1 pkt Zadanie 10, matura maj 2017, stara formułaNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f(x) = ax2 + bx + c, o miejscach zerowych: -3 i …1 pkt Zadanie 29, matura maj 2017, stara formułaFunkcja kwadratowa f jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych x wzorem f(x) = ax2 + bx + c. Największ…4 pkt Zadanie 10, matura maj 2016, stara formułaInformacja do zadań 10. i 11. Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadrat…1 pkt Zadanie 11, matura maj 2016, stara formułaInformacja do zadań 10. i 11. Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadrat…1 pkt Zadanie 10, matura sierpień 2014, stara formułaZadanie 10. (1 pkt) Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej, określonej wzorem …1 pkt Zadanie 11, matura sierpień 2014, stara formułaZadanie 11. (1 pkt) Funkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział  , 3  , może być określona …1 pkt Zadanie 21, matura sierpień 2014, stara formułaZadanie 21. (1 pkt) Punkty   13, 12 A   i   15,8 C  są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Prze…1 pkt Zadanie 7, matura maj 2014, stara formułaNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f. Parabola przecina oś Ox w punktach (-1, 0) i …1 pkt Zadanie 26, matura maj 2014, stara formułaWykresem funkcji kwadratowej f(x) = 2x2 + bx + c jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt W = (4, 0). Ob…2 pkt Zadanie 6, matura maj 2013, stara formułaWierzchołkiem paraboli o równaniu y = -3(x - 2)2 + 4 jest punkt o współrzędnych1 pkt Zadanie 7, matura sierpień 2012, stara formułaDana jest parabola o równaniu y = x2 + 8x - 14. Pierwsza współrzędna wierzchołka tej paraboli jest równa1 pkt Zadanie 8, matura sierpień 2012, stara formułaWskaż fragment wykresu funkcji kwadratowej, której zbiorem wartości jest [-2, + ).1 pkt Zadanie 5, matura czerwiec 2012, stara formułaNa jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji y = x2 + 2x - 3. Wskaż ten rysunek.1 pkt Zadanie 6, matura czerwiec 2012, stara formułaWierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji określonej wzorem f(x) = x2 - 4x + 4 jest punkt o współrzędnyc…1 pkt Zadanie 9, matura maj 2011, stara formułaDane są funkcje liniowe f(x) = x - 2 oraz g(x) = x + 4 określone dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Wskaż, …1 pkt Zadanie 8, matura maj 2010, stara formułaWykresem funkcji kwadratowej f(x) = -3x2 + 3 jest parabola o wierzchołku w punkcie1 pkt

← Funkcja liniowa Odczytywanie wykresu, przesunięcia →