Zadanie 20: matura z matematyki grudzień 2022

Poziom podstawowy · arkusz diagnostyczny · 4 pkt · zadanie otwarte · Funkcje · Funkcja kwadratowa

Zapisz obliczenia.

Do wyznaczenia trzech boków pewnego kąpieliska w kształcie prostokąta należy użyć liny o długości $200$ m. Czwarty bok tego kąpieliska będzie pokrywał się z brzegiem plaży, który w tym miejscu jest linią prostą (zobacz rysunek: $b$ – bok równoległy do brzegu, $a$ – boki prostopadłe do brzegu).
Oblicz wymiary $a$ i $b$ kąpieliska tak, aby jego powierzchnia była największa.

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 20 z arkusza CKE, grudzień 2022 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $a = 50$ m, $b = 100$ m

Schemat: Optymalizacja i modele z funkcją kwadratową (zadanie z treścią) · pojawił się w 9 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 33.1, matura maj 2026, zadanie 33.2, matura maj 2026, zadanie 31, matura maj 2025

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Lina tworzy dwa boki długości $a$ i jeden bok długości $b$: $2a + b = 200$, stąd $b = 200 - 2a$, przy czym $0 < a < 100$.
2.
Pole kąpieliska: $P(a) = a(200 - 2a) = -2a^2 + 200a$.
3.
To funkcja kwadratowa o ujemnym współczynniku przy $a^2$, więc największą wartość przyjmuje w wierzchołku: $a_w = \dfrac{-200}{2 \cdot (-2)} = 50$, a $50 \in (0, 100)$.
4.
Wtedy $b = 200 - 100 = 100$, a pole wynosi $P = 50 \cdot 100 = 5000\ \text{m}^2$.
5.
Sprawdzenie: miejsca zerowe $P$ to $0$ i $100$, a wierzchołek leży w połowie między nimi, w $a = 50$.
6.
Kąpielisko powinno mieć wymiary $a = 50$ m i $b = 100$ m.

Odpowiedź: $a = 50$ m, $b = 100$ m

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Funkcja kwadratowa” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Funkcja kwadratowa

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 14, matura maj 2026W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w pun…4 pkt Zadanie 12, matura marzec 2026Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = -16x2 + 40x + 11. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,…3 pkt Zadanie 32.1, matura marzec 2026Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = -5(x - )2 + 2. Funkcja f przyjmuje wartość największą w prze…1 pkt Zadanie 32.2, matura marzec 2026Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = -5(x - )2 + 2. Funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą w prz…1 pkt Zadanie 12.1, matura maj 2025W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwa…2 pkt Zadanie 12.2, matura maj 2025W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwa…1 pkt

← Zadanie 19 Zadanie 21 →

Źródło treści: arkusz CKE 2212-arkusz.pdf (strona 18), zasady oceniania: .