Zadanie 30: matura z matematyki grudzień 2023

Poziom podstawowy · arkusz diagnostyczny · 4 pkt · zadanie otwarte · Funkcje · Funkcja kwadratowa

Zapisz obliczenia.

Zgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość $12$ dm, a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być równa $18$ dm.
Oblicz, jaką długość powinna mieć krótsza podstawa tego trapezu, tak aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu

Zadanie 30 z arkusza CKE, grudzień 2023 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: Krótsza podstawa: $3$ dm, największe pole: $112{,}5\ \text{dm}^2$

Schemat: Optymalizacja i modele z funkcją kwadratową (zadanie z treścią) · pojawił się w 9 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 33.1, matura maj 2026, zadanie 33.2, matura maj 2026, zadanie 31, matura maj 2025

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Oznaczamy krótszą podstawę przez $x$. Wtedy wysokość to $18 - x$, a warunki zadania dają $0 < x < 12$.
2.
Pole trapezu: $P(x) = \dfrac{(12 + x)(18 - x)}{2} = \dfrac{1}{2}\left(-x^2 + 6x + 216\right)$.
3.
To funkcja kwadratowa o ujemnym współczynniku przy $x^2$, więc największą wartość przyjmuje w wierzchołku: $x_w = \dfrac{-6}{2 \cdot (-1)} = 3$, a $3 \in (0, 12)$.
4.
Dla $x = 3$ wysokość to $15$ dm, a pole $P(3) = \dfrac{15 \cdot 15}{2} = 112{,}5$.
5.
Sprawdzenie: miejsca zerowe $P$ to $-12$ i $18$, a wierzchołek leży w połowie między nimi: $\dfrac{-12 + 18}{2} = 3$.
6.
Krótsza podstawa powinna mieć $3$ dm, a największe pole okna to $112{,}5\ \text{dm}^2$.

Odpowiedź: Krótsza podstawa: $3$ dm, największe pole: $112{,}5\ \text{dm}^2$

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Funkcja kwadratowa” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Funkcja kwadratowa

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 14, matura maj 2026W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w pun…4 pkt Zadanie 12, matura marzec 2026Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = -16x2 + 40x + 11. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,…3 pkt Zadanie 32.1, matura marzec 2026Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = -5(x - )2 + 2. Funkcja f przyjmuje wartość największą w prze…1 pkt Zadanie 32.2, matura marzec 2026Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = -5(x - )2 + 2. Funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą w prz…1 pkt Zadanie 12.1, matura maj 2025W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwa…2 pkt Zadanie 12.2, matura maj 2025W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwa…1 pkt

← Zadanie 29.2 Cały arkusz

Źródło treści: arkusz CKE 2312-arkusz.pdf (strona 30), zasady oceniania: .