Zadanie 29: matura z matematyki marzec 2022

Poziom podstawowy · arkusz pokazowy · 4 pkt · zadanie otwarte · Funkcje · Funkcja kwadratowa

Zapisz obliczenia.

Rozważamy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym $200$ i kącie ostrym o mierze $30^\circ$. Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola takiego równoległoboku od długości $x$ boku równoległoboku. Oblicz wymiary tego z rozważanych równoległoboków, który ma największe pole, i oblicz to największe pole.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu

Zadanie 29 z arkusza CKE, marzec 2022 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $P(x) = \dfrac{1}{2}x(100 - x)$ dla $x \in (0, 100)$; największe pole $1250$ ma romb o boku $50$.

Schemat: Optymalizacja i modele z funkcją kwadratową (zadanie z treścią) · pojawił się w 9 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 33.1, matura maj 2026, zadanie 33.2, matura maj 2026, zadanie 31, matura maj 2025

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Niech boki mają długości $x$ i $y$. Z obwodu: $2x + 2y = 200$, więc $y = 100 - x$; obie długości dodatnie, stąd $x \in (0, 100)$.
2.
Pole równoległoboku to iloczyn boków i sinusa kąta między nimi: $P = x \cdot y \cdot \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}x(100 - x)$.
3.
Po wymnożeniu $P(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + 50x$ – funkcja kwadratowa o ramionach w dół; największą wartość ma w wierzchołku $p = -\dfrac{50}{2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} = 50$, a $50 \in (0, 100)$.
4.
Wtedy $y = 100 - 50 = 50$ i $P(50) = \dfrac{1}{2} \cdot 50 \cdot 50 = 1250$.
5.
Największe pole $1250$ ma romb o boku $50$.

Odpowiedź: $P(x) = \dfrac{1}{2}x(100 - x)$ dla $x \in (0, 100)$; największe pole $1250$ ma romb o boku $50$.

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 29

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Funkcja kwadratowa” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Funkcja kwadratowa

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 14, matura maj 2026W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w pun…4 pkt Zadanie 12, matura marzec 2026Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = -16x2 + 40x + 11. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,…3 pkt Zadanie 32.1, matura marzec 2026Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = -5(x - )2 + 2. Funkcja f przyjmuje wartość największą w prze…1 pkt Zadanie 32.2, matura marzec 2026Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = -5(x - )2 + 2. Funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą w prz…1 pkt Zadanie 12.1, matura maj 2025W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwa…2 pkt Zadanie 12.2, matura maj 2025W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwa…1 pkt

← Zadanie 28 Zadanie 30.1 →

Źródło treści: arkusz CKE 2203-arkusz.pdf (strona 26), zasady oceniania: 2203-zasady.pdf.