Zadanie 23: matura z matematyki wrzesień 2022

Poziom podstawowy · arkusz diagnostyczny · 4 pkt · zadanie otwarte · Funkcje · Funkcja kwadratowa

Zapisz obliczenia.

Rodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że: przychód $P$ (w złotych) z tygodniowej sprzedaży $x$ wiatraków można opisać funkcją $P(x) = 251x$; koszt $K$ (w złotych) produkcji $x$ wiatraków w ciągu jednego tygodnia można określić funkcją $K(x) = x^2 + 21x + 170$. Tygodniowo w zakładzie można wyprodukować co najwyżej $150$ wiatraków. Oblicz, ile tygodniowo wiatraków należy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego tygodnia był największy. Oblicz ten największy zysk. Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu

Zadanie 23 z arkusza CKE, wrzesień 2022 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: Należy sprzedawać $115$ wiatraków tygodniowo; największy zysk to $13\,055$ zł.

Schemat: Optymalizacja i modele z funkcją kwadratową (zadanie z treścią) · pojawił się w 9 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 33.1, matura maj 2026, zadanie 33.2, matura maj 2026, zadanie 31, matura maj 2025

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Zysk to przychód minus koszt: $Z(x) = 251x - (x^2 + 21x + 170) = -x^2 + 230x - 170$.
2.
Liczba wiatraków jest liczbą całkowitą z przedziału $[0, 150]$ – to dziedzina funkcji $Z$.
3.
$Z$ jest funkcją kwadratową o ramionach w dół, więc największą wartość ma w wierzchołku: $p = -\dfrac{230}{2 \cdot (-1)} = 115$; liczba $115$ należy do dziedziny.
4.
Największy zysk: $Z(115) = -115^2 + 230 \cdot 115 - 170 = -13\,225 + 26\,450 - 170 = 13\,055$.
5.
$115$ wiatraków tygodniowo, zysk $13\,055$ zł.

Odpowiedź: Należy sprzedawać $115$ wiatraków tygodniowo; największy zysk to $13\,055$ zł.

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 23

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Funkcja kwadratowa” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Funkcja kwadratowa

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 14, matura maj 2026W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w pun…4 pkt Zadanie 12, matura marzec 2026Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = -16x2 + 40x + 11. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,…3 pkt Zadanie 32.1, matura marzec 2026Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = -5(x - )2 + 2. Funkcja f przyjmuje wartość największą w prze…1 pkt Zadanie 32.2, matura marzec 2026Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = -5(x - )2 + 2. Funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą w prz…1 pkt Zadanie 12.1, matura maj 2025W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwa…2 pkt Zadanie 12.2, matura maj 2025W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwa…1 pkt

← Zadanie 22 Zadanie 24.1 →

Źródło treści: arkusz CKE 2209-arkusz.pdf (strona 22), zasady oceniania: 2209-zasady.pdf.