Zadanie 33: matura z matematyki maj 2011, stara formuła
Poziom podstawowy · termin główny · 4 pkt · zadanie otwarte · Stereometria · Przekątne i kąty w bryłach
Teoria: Przekątne i kąty w bryłach
Punkty $K$, $L$ i $M$ są środkami krawędzi $BC$, $GH$ i $AE$ sześcianu $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $1$ (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta $KLM$.
Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:
Pokaż odpowiedź
Schemat: Trójkąty i przekroje w sześcianie lub graniastosłupie · pojawił się w 6 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 25, matura marzec 2026, zadanie 25, matura grudzień 2023, zadanie 26, matura maj 2022, formuła 2015
Na maturze zdający zdobyli średnio 34% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 48.24%. Sprawozdanie CKE
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Trójkąt $ABK$ jest prostokątny: $|AK|^2 = |AB|^2 + |BK|^2 = 1 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4}$.
- 2.Krawędź $AE$ jest prostopadła do podstawy, więc trójkąt $MAK$ jest prostokątny: $|MK|^2 = |MA|^2 + |AK|^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{5}{4} = \dfrac{3}{2}$.
- 3.Analogicznie w trójkątach $MEL$ i $LGK$: $|ML|^2 = \dfrac{1}{4} + \left(1 + \dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{3}{2}$ oraz $|KL|^2 = \dfrac{3}{2}$. Trójkąt $KLM$ jest więc równoboczny o boku $a$, gdzie $a^2 = \dfrac{3}{2}$.
- 4.Pole trójkąta równobocznego: $P = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3\sqrt{3}}{8}$.
- 5.Pole trójkąta $KLM$ jest równe $\dfrac{3\sqrt{3}}{8}$.
W aplikacji każde zadanie z tematu „Przekątne i kąty w bryłach” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Źródło treści: arkusz CKE s-1105-arkusz.pdf (strona 18), zasady oceniania: s-1105-zasady.pdf.