Zadanie 34: matura z matematyki maj 2018, stara formuła

Poziom podstawowy · termin główny · 4 pkt · zadanie otwarte · Stereometria · Objętości i pola brył

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe $45\sqrt{3}$. Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 34 z arkusza CKE, maj 2018 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $V = \dfrac{81}{2}$

Schemat: Graniastosłup: objętość i pole powierzchni · pojawił się w 12 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 25, matura grudzień 2024, zadanie 36, matura maj 2023, formuła 2015, zadanie 25, matura maj 2022, formuła 2015

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Niech $a$ – krawędź podstawy, $h$ – wysokość graniastosłupa. Pole całkowite to $2$ podstawy i $3$ ściany boczne, a każda z nich ma to samo pole $P_p$.
2.
Zatem $5P_p = 45\sqrt{3}$, czyli $P_p = 9\sqrt{3}$.
3.
Podstawa jest trójkątem równobocznym: $\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$, więc $a^2 = 36$, $a = 6$.
4.
Pole ściany bocznej: $a \cdot h = 9\sqrt{3}$, więc $h = \dfrac{9\sqrt{3}}{6} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.
5.
$V = P_p \cdot h = 9\sqrt{3} \cdot \dfrac{3\sqrt{3}}{2} = \dfrac{81}{2}$.
6.
Objętość graniastosłupa jest równa $\dfrac{81}{2}$.

Odpowiedź: $V = \dfrac{81}{2}$

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 34

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Objętości i pola brył” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Objętości i pola brył

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 27, matura maj 2026Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość 8 3. Krawędź boczna tego os…2 pkt Zadanie 28, matura maj 2026Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca…1 pkt Zadanie 26, matura marzec 2026Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 12. Ściana boczna tego ostros…2 pkt Zadanie 25, matura maj 2025Tworząca stożka ma długość 8. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 120 .3 pkt Zadanie 26, matura maj 2025Objętość sześcianu jest równa 729. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa1 pkt Zadanie 24, matura grudzień 2024Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 4. Ściana boczna tego ostrosłupa j…1 pkt

← Zadanie 33 Cały arkusz

Źródło treści: arkusz CKE s-1805-arkusz.pdf (strona 24), zasady oceniania: s-1805-zasady.pdf.