Zadanie 34: matura z matematyki czerwiec 2012, stara formuła
Poziom podstawowy · termin dodatkowy · 4 pkt · zadanie otwarte · Stereometria · Objętości i pola brył
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny $ABCDEF$ o podstawach $ABC$ i $DEF$ i krawędziach bocznych $AD$, $BE$ i $CF$ (zobacz rysunek). Długość krawędzi podstawy $AB$ jest równa $8$, a pole trójkąta $ABF$ jest równe $52$. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:
Pokaż odpowiedź
Schemat: Graniastosłup: objętość i pole powierzchni · pojawił się w 12 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 25, matura grudzień 2024, zadanie 36, matura maj 2023, formuła 2015, zadanie 25, matura maj 2022, formuła 2015
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Niech $G$ będzie środkiem krawędzi $AB$. Trójkąt $ABF$ jest równoramienny ($|AF| = |BF|$), więc $FG$ jest jego wysokością: $\dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot |FG| = 52$, stąd $|FG| = 13$.
- 2.$CG$ jest wysokością trójkąta równobocznego $ABC$: $|CG| = \dfrac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$.
- 3.Krawędź $CF$ jest prostopadła do podstawy, więc trójkąt $FCG$ jest prostokątny: $|CF|^2 = 13^2 - (4\sqrt{3})^2 = 169 - 48 = 121$, czyli $|CF| = 11$.
- 4.Objętość: $V = \dfrac{8^2\sqrt{3}}{4} \cdot 11 = 16\sqrt{3} \cdot 11 = 176\sqrt{3}$.
- 5.Objętość graniastosłupa jest równa $176\sqrt{3}$.
W aplikacji każde zadanie z tematu „Objętości i pola brył” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Źródło treści: arkusz CKE s-1206-arkusz.pdf (strona 16), zasady oceniania: s-1206-zasady.pdf.