Kombinatoryka
Matura podstawowa z matematyki · Kombinatoryka, prawdopodobieństwo i statystyka · tier B · 24 zadania z arkuszy CKE
Kombinatoryka to liczenie możliwości, najczęściej wystarcza reguła mnożenia.
Wzory w skrócie
- Reguła mnożenia: jeśli wybór składa się z etapów, mnożymy liczby możliwości kolejnych etapów
- Liczba nie może zaczynać się od zera, pierwsza cyfra ma mniej możliwości
- Ustawienia $n$ elementów: $n!$; wybór $k$ z $n$ bez kolejności: $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$
Jak rozpoznać zadanie
Zapisz kolejne pozycje (cyfry, miejsca) jako kratki i nad każdą wpisz liczbę możliwości.
Przykład z rozwiązaniem
Ile jest liczb 3-cyfrowych nieparzystych, w których cyfry nie mogą się powtarzać?
- A $405$
- B $360$
- C $320$
- D $450$
- 1.Zaczynamy od cyfry z warunkiem: ostatnia cyfra: $5$ możliwości ($1, 3, 5, 7, 9$).
- 2.Pierwsza cyfra: $8$ możliwości (bez zera i bez cyfry użytej na końcu), środkowe: $8$.
- 3.Razem: $5 \cdot 8 \cdot 8 = 320$.
Odpowiedź: C. $320$
W aplikacji dostajesz takie zadania z innymi liczbami i wpisujesz wynik każdego kroku.
Typowe błędy
Te pomyłki prowadzą do błędnych odpowiedzi w zadaniach zamkniętych z tego tematu:
- Pomylono podstawę z wykładnikiem.
- Cyfry nie mogą się powtarzać, na kolejnych pozycjach ubywa możliwości.
- Pierwsza cyfra nie może być zerem: ma 9, a nie 10 możliwości.
- Zero może stać na środkowych pozycjach, nie wolno go tylko na początku.
Na maturze
10 z 10arkuszy z tym tematem
10zadań w arkuszach formuły 2023
1,1pkt średnio na arkusz
Btier · 2,3% punktów
Policzone z 10 arkuszy CKE formuły 2023 z lat 2022–2026 (tej formuły dotyczy matura 2027). Razem 11 pkt z tego tematu. Jak liczymy tier listę.
Co trzeba umieć wcześniej
Ten temat nie wymaga wcześniejszych tematów z liceum. Możesz od niego zacząć.
Ten temat jest potrzebny do
Lekcja z teorią, zadania krok po kroku z podpowiedziami i powtórka, zanim temat wyleci z głowy.
Zadania z arkuszy CKE z tego tematu
24 zadania z oficjalnych matur, każde z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.
Formuła 2023 · 10 zadań
Zadanie 29, matura maj 2026Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry …1 pktZadanie 28, matura marzec 2026Rysunek drwala składa się z sześciu obszarów ponumerowanych liczbami od 1 do 6 (zobacz rysunek). Każdy z tych …1 pktZadanie 27, matura maj 2025Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie je…1 pktZadanie 27, matura grudzień 2024Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują wyłącznie …1 pktZadanie 27, matura maj 2024Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr 1, 3, 6, 8, przy czym w każdym kodzie każda z ty…1 pktZadanie 27, matura grudzień 2023E-dowód ma zapisany na pierwszej stronie specjalny sześciocyfrowy numer CAN, który zabezpiecza go przed odczyt…2 pktZadanie 28, matura maj 2023Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0, 5, 7 (np.…1 pktZadanie 5, matura grudzień 2022Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym wszystkie cyfry są różne, …1 pktZadanie 3, matura wrzesień 2022Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, które są nieparzyste i podzielne przez 25, jest1 pktZadanie 3, matura marzec 2022Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w których zapisie dziesiętnym nie występuje cyfra 2, jest1 pkt
Formuła 2015 · 9 zadań
Zadanie 29, matura maj 2024, formuła 2015Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr 1, 3, 6, 8, przy czym w każdym kodzie każda z ty…1 pktZadanie 28, matura maj 2023, formuła 2015Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0, 5, 7 (np.…1 pktZadanie 27, matura maj 2022, formuła 2015Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych nieparzystych podzielnych przez 5 jest1 pktZadanie 27, matura maj 2021, formuła 2015Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, większych od 700, w których każda cyfra należy do zbioru \1, 2, 3,…1 pktZadanie 26, matura marzec 2021, formuła 2015Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których cyfra 7 występuje dokładnie jeden raz, jest1 pktZadanie 21, matura czerwiec 2020, formuła 2015Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr: 1, 3, 5, 7, 9, w których cyfry się nie …1 pktZadanie 24, matura marzec 2020, formuła 2015Ile jest wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych mniejszych niż 2017?1 pktZadanie 24, matura maj 2019, formuła 2015Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, 5, jest1 pktZadanie 24, matura maj 2018, formuła 2015Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od 2018 i podzielnych przez 5?1 pkt
Stara formuła · 5 zadań
Zadanie 21, matura czerwiec 2020, stara formułaIle jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr: 1, 3, 5, 7, 9, w których cyfry się nie …1 pktZadanie 24, matura maj 2019, stara formułaWszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, 5, jest1 pktZadanie 24, matura maj 2018, stara formułaIle jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych niż 2018 i podzielnych przez 5?1 pktZadanie 24, matura maj 2014, stara formułaNa ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 10 zawodników?1 pktZadanie 33, matura czerwiec 2012, stara formułaOblicz, ile jest liczb naturalnych pięciocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, jest dokładnie jedna…4 pkt