Prawdopodobieństwo

Matura podstawowa z matematyki · Kombinatoryka, prawdopodobieństwo i statystyka · tier A · 52 zadania z arkuszy CKE

Prawdopodobieństwo klasyczne to stosunek liczby wyników sprzyjających do wszystkich.

Wzory w skrócie

$P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}$, $\quad 0 \le P(A) \le 1$
Dwa rzuty kostką: $|\Omega| = 36$, wyniki to pary uporządkowane $(a, b)$
Zdarzenie przeciwne: $P(A') = 1 - P(A)$

Jak rozpoznać zadanie

Wypisz pary sprzyjające (albo tabelkę 6 × 6). Pary $(1, 2)$ i $(2, 1)$ to dwa różne wyniki.

Przykład z rozwiązaniem

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wartość bezwzględna różnicy wyrzuconych oczek jest równa 4, jest równe

A $\dfrac{1}{3}$
B $\dfrac{1}{18}$
C $\dfrac{8}{9}$
D $\dfrac{1}{9}$

Rozwiązanie

1.
Zdarzenia elementarne to pary (wynik 1. rzutu, wynik 2. rzutu): $|\Omega| = 6\cdot 6 = 36$.
2.
Wypisujemy pary sprzyjające: (1,5), (2,6), (5,1), (6,2).
3.
Jest ich $|A| = 4$. Pary $(1,2)$ i $(2,1)$ liczymy osobno, to różne wyniki.
4.
$P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|} = \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9}$.

Odpowiedź: D. $\dfrac{1}{9}$

W aplikacji dostajesz takie zadania z innymi liczbami i wpisujesz wynik każdego kroku.

Typowe błędy

Te pomyłki prowadzą do błędnych odpowiedzi w zadaniach zamkniętych z tego tematu:

To prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego.
Pary (a, b) i (b, a) to różne zdarzenia elementarne, trzeba policzyć obie.
|Ω| = 6·6 = 36, a nie 6 + 6.
|Ω| = 6·6 = 36.

Na maturze

10 z 10arkuszy z tym tematem

12zadań w arkuszach formuły 2023

1,8pkt średnio na arkusz

Atier · 3,8% punktów

Policzone z 10 arkuszy CKE formuły 2023 z lat 2022–2026 (tej formuły dotyczy matura 2027). Razem 18 pkt z tego tematu. Jak liczymy tier listę.

Co trzeba umieć wcześniej

Kombinatoryka

Mapa wszystkich tematów

Ten temat jest potrzebny do

Na tym temacie nie stoją inne tematy matury podstawowej.

Ćwicz „Prawdopodobieństwo” w aplikacji

Lekcja z teorią, zadania krok po kroku z podpowiedziami i powtórka, zanim temat wyleci z głowy.

Otwórz lekcję Zadania z działu „Kombinatoryka, prawdopodobieństwo i statystyka”

Zadania z arkuszy CKE z tego tematu

52 zadania z oficjalnych matur, każde z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Formuła 2023 · 12 zadań

Zadanie 30, matura maj 2026Dane są dwa zbiory cyfr: X = \1, 3, 5, 7, 9\ oraz Y = \0, 2, 4, 6, 8\. Losujemy jedną cyfrę ze zbioru X, a nas…2 pkt Zadanie 29, matura marzec 2026Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Zdarzenie A polega na tym, że wylos…1 pkt Zadanie 28, matura maj 2025Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance…1 pkt Zadanie 28, matura grudzień 2024Dane są dwa zbiory: C = \1, 2, 3, 4, 5, 6\ oraz D = \7, 8, 9, 10\. Losujemy jedną liczbę ze zbioru C, a następ…2 pkt Zadanie 30, matura maj 2024Dany jest pięcioelementowy zbiór K = \5, 6, 7, 8, 9\. Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo p…2 pkt Zadanie 28, matura grudzień 2023Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance…1 pkt Zadanie 29.1, matura grudzień 2023W hurtowni owoców wyselekcjonowane jabłko spełnia normę jakości, gdy jego masa (po zaokrągleniu do pełnych dek…1 pkt Zadanie 27, matura maj 2023W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby W wszystkich wierzchołków do liczby K wszystkich krawędzi jes…1 pkt Zadanie 30, matura maj 2023Ze zbioru ośmiu liczb \2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\ losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie. Obli…2 pkt Zadanie 32, matura grudzień 2022Na loterii stosunek liczby losów wygrywających do liczby losów przegrywających jest równy 2 : 7. Zakupiono jed…1 pkt Zadanie 19, matura wrzesień 2022W pojemniku są wyłącznie kule białe i czerwone. Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równ…1 pkt Zadanie 28, matura marzec 2022W pojemniku znajdują się losy loterii fantowej ponumerowane kolejnymi liczbami naturalnymi od 1000 do 9999. Ka…3 pkt

Formuła 2015 · 19 zadań

Stara formuła · 21 zadań

Zadanie 30, matura czerwiec 2020, stara formułaRzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jedne…2 pkt Zadanie 25, matura maj 2019, stara formułaW pudełku jest 40 kul. Wśród nich jest 35 kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wyloso…1 pkt Zadanie 30, matura maj 2019, stara formułaZe zbioru liczb \1, 2, 3, 4, 5\ losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo z…2 pkt Zadanie 25, matura maj 2018, stara formułaW pudełku jest 50 kuponów, wśród których jest 15 kuponów przegrywających, a pozostałe kupony są wygrywające. Z…1 pkt Zadanie 33, matura maj 2018, stara formułaDane są dwa zbiory: A = \100, 200, 300, 400, 500, 600, 700\ i B = \10, 11, 12, 13, 14, 15, 16\. Z każdego z ni…4 pkt Zadanie 25, matura maj 2017, stara formułaZe zbioru dwudziestu czterech kolejnych liczb naturalnych od 1 do 24 losujemy jedną liczbę. Niech A oznacza zd…1 pkt Zadanie 33, matura maj 2017, stara formułaZe zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia…2 pkt Zadanie 22, matura maj 2016, stara formułaRzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w ty…1 pkt Zadanie 34, matura maj 2016, stara formułaZe zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania.…4 pkt Zadanie 25, matura maj 2015, stara formułaW pewnej klasie stosunek liczby dziewcząt do liczby chłopców jest równy 4 : 5. Losujemy jedną osobę z tej klas…1 pkt Zadanie 33, matura maj 2015, stara formułaWśród 115 osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przed…4 pkt Zadanie 24, matura sierpień 2014, stara formułaZadanie 24. (1 pkt) Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej res…1 pkt Zadanie 34, matura sierpień 2014, stara formułaZadanie 34. (4 pkt) Zbiór M tworzą wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, w zapisie których występują dwie róż…4 pkt Zadanie 23, matura maj 2014, stara formułaJeżeli A jest zdarzeniem losowym, a A' – zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A oraz zachodzi równość P(A) = 2 P…1 pkt Zadanie 30, matura maj 2014, stara formułaZe zbioru liczb \1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\ losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodob…2 pkt Zadanie 22, matura maj 2013, stara formułaRzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech p oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczy…1 pkt Zadanie 25, matura sierpień 2012, stara formułaZe zbioru \1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\ wybieramy losowo jedną liczbę. Niech p oznacza p…1 pkt Zadanie 23, matura czerwiec 2012, stara formułaJeżeli A i B są zdarzeniami losowymi, B' jest zdarzeniem przeciwnym do B, P(A) = 0,3, P(B') = 0,4 oraz A B = ,…1 pkt Zadanie 22, matura maj 2011, stara formułaRzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek równej trzy wy…1 pkt Zadanie 30, matura maj 2011, stara formułaZe zbioru liczb \1, 2, 3, , 7\ losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobie…2 pkt Zadanie 33, matura maj 2010, stara formułaDoświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieńst…4 pkt

← Kombinatoryka Mediana i dominanta →